Calcule a integral definida.

∫ 0 π / 2 1 12 + 13 cos ⁡ t   d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 π / 2 1 12 + 13 cos ⁡ t   d t

Para resolver essa integral você deve recorrer à substituição z = tan ⁡ 1 2 t apresentada na seção 9.7. Quando fazemos essa substituição, temos que

cos ⁡ t = 1 - z 2 1 + z 2           e             d x = 2 1 + z 2   d z

Assim, não esquecendo de trocar os limites de integração:

I = ∫ 0 1 1 12 + 13 ⋅ 1 - z 2 1 + z 2 ⋅ 2 1 + z 2   d z = ∫ 0 1 2 12 + 12 z 2 + 13 - 13 z 2   d z

Assim,

I = ∫ 0 1 2 25 - z 2   d z

Passo 2

Para calcular essa integral usamos frações parciais:

2 25 - z 2 = 2 ( 5 - z ) ( 5 + z ) = A 5 - z + B 5 + z

Portanto,

A 5 + z + B 5 - z = 2 ⇒ A - B z + 5 A + B = 2

Logo,

A - B = 0 5 A + B = 2

Temos que A = B :

10 A = 10 B = 2 ⇒ A = B = 1 5

Portanto,

I = 1 5 ∫ 0 1 1 5 - z + 1 5 + z   d z = 1 5 ∫ 0 1 1 z + 5 - 1 z - 5   d z

Portanto,

I = 1 5 ln ⁡ z + 5 - 1 5 ln ⁡ z - 5 0 1 = 1 5 ln ⁡ z + 5 z - 5 0 1

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

I = 1 5 ln ⁡ 6 4 - ln ⁡ 1

Logo,

I = 1 5 ln ⁡ 3 2

Resposta

1 5 ln ⁡ 3 2

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