Enunciado

Calcule o comprimento do segmento de reta 4 x + 9 y = 36 entre os seus interceptos x e y por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.

Passo 1

A questão pede para acharmos o comprimento da reta 4 x + 9 y = 36 entre os pontos de interseção com os eixos de três formas diferentes: distância entre pontos, fórmula do comprimento de curva integrando em x e integrando em y .

O primeiro passo é achar os pontos de interseção. Igualando x = 0 :

9 y = 36 ⇒ y = 4 ⇒ ( 0 ,   4 )

Igualando y = 0 :

4 x = 36 ⇒ x = 9 ⇒ ( 9 ,   0 )

No item (a) vamos usar a distância entre pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Assim,

d = 9 - 0 2 + 0 - 4 2 = 81 + 16 = 97

Passo 2

Para o item (b) vamos usar a fórmula

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, como y ' = - 4 / 9 , temos que

L = ∫ 0 9 1 + - 4 9 2   d x = 97 9 ∫ 0 9 d x = 97

Passo 3

Por fim, fazendo a integração em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Como x ' = - 9 / 4

L = ∫ 0 4 1 + 81 16   d y = 97 4 ∫ 0 4 d y = 97

Resposta

97

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