Enunciado

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.

58

∫ c o s 2 2 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas.

Passo 2

A primeira relação que a gente vai usar é

c o s 2 2 ѳ = ( 2 c o s 2 ѳ - 1 ) 2 s e n ѳ

Se expandirmos o termo ao quadrado temos

(4 c o s 4 ѳ - 4 c o s 2 ѳ + 1 ) s e n ѳ  

Passo 3

Nossa integral vai ficar assim

∫ 4 c o s 4 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ - ∫ 4 c o s 2 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ + ∫ s e n ѳ   d ѳ

Passo 4

Para calcular a primeira e a segunda integral, basta usar uma substituição onde

u = c o s ѳ d u = - s e n ѳ d ѳ

E aí teremos

∫ 4 c o s 4 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ = - 4 5 c o s 5 ѳ + C

∫ 4 c o s 2 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ = 4 3 c o s 3 ѳ + C

Passo 5

A terceira integral é mais simples, basta lembrar que

∫ s e n ѳ d ѳ = - c o s ѳ + C

Passo 6

Somando tudo

- 4 5 c o s 5 ѳ + 4 3 c o s 3 ѳ - c o s ѳ + C

Resposta

- 4 5 c o s 5 ѳ + 4 3 c o s 3 ѳ - c o s ѳ + C

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