Calcule a integral definida.

∫ 0 1 / 2 x 1 - 4 x 4   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 1 / 2 x 1 - 4 x 4   d x

Antes de qualquer coisa, você precisa reescrever a integral:

I = ∫ 0 1 / 2 x 1 - 2 x 2 2   d x

Assim, vamos a substituição: t = 2 x 2 ⇒ d t = 4 x   d x . Quando x = 0 ⇒ t = 0 , já para x = 1 2 ⇒ t = 2 ⋅ 1 4 = 1 2 . Portanto,

I = 1 4 ∫ 0 1 / 2 1 1 - t 2   d t

Passo 2

Sabemos que a primitiva de 1 / 1 - t 2 é arco seno:

I = 1 4 a r c s e n   t 0 1 / 2

Assim,

I = 1 4 a r c s e n 1 2 - a r c s e n   0

Logo,

I = 1 4 π 6 - 0 = π 24

Resposta

π 24

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