Calcule a integral

∫ x e x 1 + e x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Iremos fazer a seguinte substituição

y = 1 + e x ; y 2 = 1 + e x ; 2 d y = e x d x ; e x = y 2 - 1 ; x = ln ⁡ y 2 - 1

∫ x e x 1 + e x d x = ∫ ln ⁡ y 2 - 1 y 2 y d y = 2 ∫ ln ⁡   y + 1 + ln ⁡ y - 1 d y

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

2 ∫ ln ⁡   y + 1 + ln ⁡ y - 1 d y = 2 y + 1 ln ⁡ y + 1 - y + 1 + y - 1 ln ⁡ y - 1 - y - 1 + C

Voltando para x , temos

2 y + 1 ln ⁡ y + 1 - y + 1 + y - 1 ln ⁡ y - 1 - y - 1 + C = 2 x - 2 1 + e x + 2 ln ⁡ 1 + e x + 1 1 + e x - 1 + C

Resposta

∫ x e x 1 + e x d x = 2 x - 2 1 + e x + 2 ln ⁡ 1 + e x + 1 1 + e x - 1 + C

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