Calcule a integral definida.

∫ 0 π 2 x   e x 2 cos ⁡ x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. O primeiro passo é fazer a substituição t = x 2 . Assim, d t = 2 x   d x . Portanto,

I = ∫ 0 π 2 x   e x 2 cos ⁡ x 2   d x = 1 2 ∫ 0 π 2 e t cos ⁡ t   d t

Agora precisamos achar uma primitiva para e t cos ⁡ t .

Passo 2

Para achar esse primitiva, vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = e t e d v = cos ⁡ t   d t , temos que d u = e t   d t e v = s e n   t :

∫ e t cos ⁡ t   d t = e t   s e n   t - ∫ e t   s e n   t   d t

Na segunda integral aplicamos partes de novo com u = e t e d v = s e n   t   d t . Portanto, d u = e t   d t e v = - cos ⁡ t :

∫ e t cos ⁡ t   d t = e t   s e n   t - - e t cos ⁡ t + ∫ e t cos ⁡ t   d t

Logo,

∫ e t cos ⁡ t   d t = e t   s e n   t + e t cos ⁡ t - ∫ e t cos ⁡ t   d t

Portanto,

2 ∫ e t cos ⁡ t   d t = e t s e n   t + cos ⁡ t

Assim,

∫ e t cos ⁡ t   d t = 1 2 e t   s e n   t + cos ⁡ t

Passo 3

Usando a primitiva calculada no passo anterior:

I = 1 2 ⋅ 1 2 e t   s e n   t + cos ⁡ t 0 π 2

Portanto,

I = 1 4 e π 2 - e 0 = 1 4 e π 2 - 1

Resposta

1 4 e π 2 - 1

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