Calcule a integral definida:

∫ 0 1 x 3 2 x + 1 d x

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição x = u , então 1 2 x d x = d u →     d x = 2 x d u = 2 u d u .

∫ x 3 2 x + 1 d x = ∫ u 3 u 2 + 1 2 u d u = 2 ∫ u 4 u 2 + 1 d u

Passo 2

Perceba que, no integrando, o polinômio do numerador tem o grau maior do que o do denominador e, por isso, devemos fazer uma divisão de polinômios utilizando o algoritmo de Euclides e obter o seguinte:

u 4 u 2 + 1 = u 2 + 1 u 2 + 1 - 1

Dessa forma,

2 ∫ u 4 u 2 + 1 d u = 2 ∫ u 2 + 1 u 2 + 1 - 1 d u = 2 u 3 3 - 2 u + 2 tan - 1 ⁡ u + C

Lembre-se que tan - 1 ⁡ u ' = 1 u 2 + 1 .

Passo 3

Agora vamos voltar na variável x para resolver a integral definida.

∫ x 3 2 x + 1 = 2 u 3 3 - u + tan - 1 ⁡ u + C = 2 x 3 3 - 2 x + 2 tan - 1 ⁡ x + C

Passo 4

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 1 x 3 2 x + 1 d x = 2 x 3 3 - 2 x + 2 tan - 1 ⁡ x 0 1

= 2 1 3 3 - 2 1 + 2 tan - 1 ⁡ 1 - 2 0 3 3 - 2 0 + 2 tan - 1 ⁡ 0

∫ 0 1 x 3 2 x + 1 d x = 2 3 - 2 + 2 tan - 1 ⁡ 1 ⏟ π 4 = - 4 3 + 2 π 4 = 6 π - 16 12 = 3 π - 8 6

Resposta

∫ 0 1 x 3 2 x + 1 d x = 3 π - 8 6

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