Enunciado

Calcule a integral definida.

int_e^(e^4) (1)/(sqrt(ln x)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável. Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Vamos fazer u = ln x , assim d u = (1)/(x) d x . Note que se u = ln x , então x = e^u . Assim, temos que

d x = x d u = e^u d u

Passo 2

Quando x = e , u = ln e = 1 e, para x = e^4 , u = ln e^4 = 4 . Assim a integral fica

int_e^(e^4) (1)/(sqrt(ln x)) d x = int_1^4 (e^u)/(sqrt(u)) d u

Vamos tentar uma nova mudança de variável: t = sqrt(u) . Assim,

d t = (1)/(2 sqrt(u)) d u => d u = 2 sqrt(u) d t = 2 t d t

Quando u = 1 , t = 1 ; já para u = 4 temos que t = 2 . Assim, a integral fica

int_1^4 (e^u)/(sqrt(u)) d u = int_1^2 (e^(t^2) * 2 t)/(t) d t = 2 int_1^2 e^(t^2) d t

Essa integral não pode ser calculada analiticamente (ela é bem famosa), porém ela existe e é igual a um número. Ao invés de escrevermos o número, vamos deixar ele representado pela integral. Se você tiver interesse, tente calcular essa integral computacionalmente usando algum algoritmo ou software.

Resposta

2 int_1^2 e^(t^2) d t

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Calcule ∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x (b) pela substituição hiperbólica x = a sinh ⁡ t
(b) Use a substituição hiperbólica x = sinh ⁡ t para mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = sinh - 1 ⁡ x a + C
Calcule a integralint_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(s e n x cos x) d x