Calcule a integral.

∫ 1 x 4 x + 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 4 x + 1 → u 2 = 4 x + 1 → x = u 2 - 1 4

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 4 d x → d x = u d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x 4 x + 1 d x = ∫ u 2 u u 2 - 1 4 d u = ∫ 1 u 2 - 1 2 d u = ∫ 2 u 2 - 1 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Então ficamos com:

∫ 2 u 2 - 1 d u = 2 ∫ 1 u 2 - 1 d u = 2 ∙ 1 2 . 1 ln ⁡ u - 1 u + 1 + C = ln ⁡ u - 1 u + 1 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 4 x + 1 :

∫ 1 x 4 x + 1 d x = ∫ 2 u 2 - 1 d u = ln ⁡ u - 1 u + 1 + C = ln ⁡ 4 x + 1 - 1 4 x + 1 + 1 + C

Resposta

∫ 1 x 4 x + 1 d x = ln ⁡ 4 x + 1 - 1 4 x + 1 + 1 + C

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