Enunciado

Calcule a integral definida.

int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) t g^3 theta d theta

Passo 1

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição. Outra coisa importante que podemos usar é que para a integral definida, podemos mudar os limites de integração quando fazemos uma substituição.

Antes de efetivamente calcularmos a integral, vamos escrever a tangente como seno sobre cosseno:

int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) t g^3 theta d theta = int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) (s e n^3 theta)/(cos^3 theta) d theta

Agora vamos escrever s e n^3 theta = s e n^2 theta s e n theta = (1 - cos^2 theta) s e n theta . Assim,

int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) t g^3 theta d theta = int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) ((1 - cos^2 theta))/(cos^3 theta) s e n theta d theta

Como sabemos que a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer a substituição x = cos theta . Assim, d x = - s e n theta d theta .

Passo 2

Sabemos que s e n theta d theta = - d x e também que para theta = - pi // 6 , x = sqrt(3) // 2 e para theta = pi // 6 , também temos x = sqrt(3) // 2 . Assim, a integral fica

int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) t g^3 theta d theta = - int_((sqrt(3))/(2))^((sqrt(3))/(2)) (1 - u^2)/(u^3) d u

Note que os limites de integração são iguais, então a integral já é automaticamente nula.

int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) t g^3 theta d theta = 0

Resposta

0

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