Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x , ( a > 0 )

Passo 1

Fala aí, meus queridos! 😇

A questão pede para calcularmos a integral definida e pra isso podemos fazer uma mudança de variável.

Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Saca só!

Vamos fazer a substituição u = x^2 + a^2 pois como a é constante, d u = 2 x d x .

Assim, x d x = d u // 2 e, além disso, para x = 0 , u = a^2 e para x = a , u = 2 a^2

Isso que acabamos de fazer nada mais é do que o método da substituição...

Bora lá! 😉

Passo 2

Fazendo essas alterações, a integral fica

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x = (1)/(2) int_(a^2)^(2 a^2) sqrt(u) d u = (1)/(2) [(u^(3 // 2))/(3 // 2)]_(a^2)^(2 a^2) = (1)/(3) [(sqrt(u))^3]_(a^2)^(2 a^2)

(1)/(2) int_(a^2)^(2 a^2) sqrt(u) d u = (1)/(2) [(u^(3 // 2))/(3 // 2)]_(a^2)^(2 a^2)

(1)/(2) int_(a^2)^(2 a^2) sqrt(u) d u = (1)/(3) [(sqrt(u))^3]_(a^2)^(2 a^2)

Assim, temos

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x = (1)/(3) ((sqrt(2 a^2))^3 - (sqrt(a^2))^3)

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x = (1)/(3) (2 sqrt(2) a^3 - a^3)

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x = (a^3)/(3) ( 2 sqrt(2) - 1 )

E aí! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

int_0^a x sqrt(x^2 + a^2) d x = (a^3)/(3) ( 2 sqrt(2) - 1 )

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