Enunciado

O gerente de um complexo de apartamentos com 100   unidades sabe, a partir da experiência, que todas as unidades estarão ocupadas se o aluguel for   $   800 por mês. Uma pesquisa de mercado sugere que, em média, uma unidade adicional permanecerá vazia para cada $   10 de aumento no aluguel. Qual o aluguel que o gerente deveria cobrar para maximizar a receita?

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que um gerente de um complexo de apartamentos com 100   unidades sabe, a partir da experiência, que todas as unidades estarão ocupadas se o aluguel for   $   800 por mês. Porém a partir de uma pesquisa de mercado sugere que, em média, uma unidade adicional permanecerá vazia para cada $   10 de aumento no aluguel.

A partir dessa informação, queremos saber qual o aluguel que o gerente deveria cobrar para maximizar a receita.

Parece complicado? 👀

Vamos chamar de x o número de $ 10 de aumento no aluguel, então, o preço é

p x = 800 + 10 x

e o número de unidades ocupadas é 100 - x .

Veja só! 😉

Passo 2

Com as informações acima podemos formar a seguinte receita:

R x = p r e ç o   d e   a l u g u e l   p o r   u n i d a d e n ú m e r o   d e   u n i d a d e s   a l u g a d a s

Como vimos no passo anterior...

R x = 800 + 10 x 100 - x

Simplificando...

R x = - 10 x 2 + 200 x + 80   000 ,     0 ≤ x ≤ 100

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Maximizando R ( x ) :

R ' x = - 20 x + 200 = 0

20 x = 200

x = 10

Tendo a quantidade, conseguimos substituir em p ( x ) :

p 10 = 800 + 10 10 = 900

Como x varia entre 0 e 100 , vamos fazer o teste para ver se x = 10 é realmente a quantidade ótima:

R 0 = 80000

R 10 = 81000

R 100 = 0

Com x = 10 conseguimos a maior receita, então o aluguel que o gerente deve cobrar é realmente $ 900 s e m a n a .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

$ 900 s e m a n a

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