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Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 1 + x 1 3 x d x ,     u = 1 + x

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 + x → d u = 1 + x ' d x = 1 2 x d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 + x 1 3 x d x

O termo entre parênteses elevado é o próprio u !

∫ 1 + x 1 3 x d x = ∫ u 1 3 x d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 1 2 x d x → 2 d u = 2 2 x d x → 2 d u = 1 x d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ u 1 3 x d x = ∫ u 1 3 2 d u = 2 ∫ u 1 3 d u

Agora temos a integral de um polinômio que vale

2 ∫ u 1 3 d u = 2 3 4 u 4 3 + C = 6 u 4 3 4 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 + x 1 3 x d x = 6 ( 1 + x ) 4 3 4 + C

Resposta

6 ( 1 + x ) 4 3 4 + C

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