Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 4 1 + u 1 2 u     d u

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(u) por uma variável simples (v) e que resulte em um dv=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 4 1 + u 1 2 u     d u v = 1 + u d v = 1 2 u   d u ⇒ 2 d v = 1 u d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 1 4 2 v 1 2   d v = 2 ∫ 1 4 v 1 2   d v

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

2 ∫ 1 4 v 1 2   d v = 2 v 3 2 3 2 4 1 = 4 3   v 3 2 4 1

Passo 4

Substituindo v pela função que atribuímos, temos:

4 3 1 + u 3 2 4 1

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      =     4 3 1 + u 3 2 4 1 = 4 3 [ 1 + 4 3 2 - 1 + 1 3 2 = 4 3   3 3 - 2 2

Resposta

4 3   3 3 - 2 2

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