Enunciado

  1. Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ d x x + x 3  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 1 / n .

Se :

u = x 1 / 6

u 6 = x

6 u 5 d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ d x x + x 3   = ∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 3    

Aplicando a substituição, temos :

∫ d x x + x 3 = ∫ 6 u 5 d u ( u 6 ) 1 2 + ( u 6 ) 1 3 = 6 ∫ u 5 d u u 3 + u 2 = 6 ∫ u 3 d u u + 1 =

Usaremos a divisão que diz que:

u 3 u + 1 = u 2 - u + 1 - 1 u + 1

Substituindo:

∫ d x x + x 3 = 6 ∫ u 3 d u u + 1 = = 6 ∫ u 2 - u + 1 - 1 u + 1 d u

Integrando aplicando ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 e também ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C :

∫ d x x + x 3 = 6 u 3 3 - u 2 2 + u - ln ⁡ u + 1 + C

Substituindo u = x 1 / 6 :

∫ d x x + x 3 = 6 x 1 / 6 3 3 - x 1 / 6 2 2 + x 1 / 6 - ln ⁡ x 1 / 6 + 1 + C

Resposta

∫ d x x + x 3 = 6 x 1 / 6 3 3 - x 1 / 6 2 2 + x 1 / 6 - ln ⁡ x 1 / 6 + 1 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha f contínua em 0,4 . Calcule ∫ - 2 2 x f x 2 d x .
Calcule. ∫ 0 2 e 2 x d x
Calcule. ∫ - 2 1 3 4 + x d x
Calcule a área do conjunto dado. A = x , y ∈ R 2 | 1 ≤ x ≤ 2e0 ≤ y ≤ x - 1 A = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 2e0 ≤ y ≤ x 1 + x 2 A é o conjunto do plano limitado pela reta x = 1 e pelos gráficos de y = e - 2 x
Calcule. ∫ 1 1 - x 2 d x