Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 1 1 7 - 5 r 2 3     d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 1 1 7 - 5 r 2 3     d r u = 7 - 5 r d u = - 5 d r   ⇒ d u - 5 = d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 1 1 7 - 5 r 2 3     d r =   ∫ 0 1 1 u 2 3       d u - 5 = ∫ 0 1 1 u 2 3   d u - 5 =   - 1 5 ∫ 0 1 u - 2 3   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

  - 1 5 ∫ 0 1 u - 2 3   d u = - 1 5 u 1 3 1 3 1 0 = - 3 5 u 1 3 1 0  

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- 3 5 u 1 3 1 0 = - 3 5 7 - 5 r 1 3 1 0

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      - 3 5 7 - 5 r 1 3 1 0 = - 3 5   7 - 5 × 1 1 3 - 7 - 5 × 0 1 3 =

= - 3 5   7 - 5 1 3 - 7 - 0 1 3 = - 3 5 2 3 - 7 3 = 3 × 7 1 3 - 3 × 2 1 3 5

Resposta

3 × 7 1 3 - 3 × 2 1 3 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados