Enunciado

5.

a. Mostre que f ( x ) = x 3 e g ( x ) = x 3 são inversas uma da outra.

b. Esboce em um único gráfico f e g em um intervalo de x suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em ( 1 ,   1 ) e ( - 1 , - 1 ) . Certifique-se de que o gráfico apresenta a simetria necessária em relação à reta y = x .

c. Determine os coeficientes angulares das tangentes aos gráficos de f e g em ( 1 ,   1 ) e ( - 1 , - 1 ) (quatro tangentes no total).

d. Quais retas tangenciam as curvas na origem?

Passo 1

a.

Para provar que f é a inversa de g é bem fácil, podemos pegar a função f e aplicar a raiz cubica dos dois lados da equação:

f ( x ) 3 = x 3 3

f ( x ) 3 = x

Portanto a inversa de f ( x ) é igual a g ( x ) :

g ( x ) = x 3

Passo 2

b.

Os dois gráficos são simples de desenhar por serem bastante conhecidos. O primeiro uma função do terceiro grau e o segundo uma função raiz cubic.

Podemos plotar alguns pontos, para termos um gráfico mais fiel. E vamos obter:

A linha pontilhada é a linha y = x , podemos observar que as funções apresentam a simetria necessária.

Passo 3

c.

O coeficiente angular da tangente, em certo ponto da função, é a derivada da função naquele ponto.

Então vamos calcular a derivada das funções f e g :

f ' ( x ) = ( 3 ) x 2

e

g ' ( x ) = 1 3 x 1 3 - 1

g ' ( x ) = 1 3 x - 2 / 3

g ' ( x ) = 1 3 x 2 3

Passo 4

c.

Agora só precisamos achar o valor das derivadas nos pontos dados:

No ponto ( 1 ,   1 ) :

f ' ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2

f ' ( 1 ) = 3

e

g ' 1 = 1 3 1 2 3

g ' 1 = 1 3 ( 1 )

g ' 1 = 1 3

No ponto ( - 1 , - 1 ) :

f ' ( - 1 ) = 3 ( - 1 ) 2

f ' ( - 1 ) = 3 ( 1 )

f ' ( - 1 ) = 3

e

g ' - 1 = 1 3 - 1 2 3

g ' - 1 = 1 3 ( 1 ) 3

g ' - 1 = 1 3 ( 1 )

g ' - 1 = 1 3

Passo 5

d.

Essa é fácil, é só observarmos o gráfico que vamos ver que a reta tangente à f x = x 3 em x = 0 é:

x = 0

Mas se você fez um esboço do gráfico e não tem certeza é só derivar e alpicar a derivada nesse ponto:

f ' x = 3 x 2

f ' 0 = 3 ( 0 ) 2

f ' 0 = 0

E para g ( x ) = x 3 é a mesma coisa. A gente observa no gráfico que a reta tangente em x = 0 irá ser:

y = 0

E podemos calcular usando a derivada também:

g ' ( x ) = 1 3 x 2 3

Acontece que não podemos dividir por zero, então imagine que o x está tendendo a zero. Nesse caso g ' ( x ) está tendendo ao infinito, uma reta com o coeficiente angular infinito é uma reta na vertical, ou seja, a reta tangente a curva nesse ponto é a reta y = 0 .

Resposta

b.

c. No ponto ( 1 ,   1 ) :

f ' 1 = 3       e       g ' 1 = 1 3

No ponto ( - 1 , - 1 ) :

f ' - 1 = 3       e       g ' - 1 = 1 3

d.

Para f ' ( 0 ) : x = 0

Para g ' ( 0 ) : y = 0

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Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = 8 x 3 + 6 x ; d = 4
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = 3 x + 4 ; d = 5
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = x² -6x +8 ; d = 3
Use a fórmula do exercício 43 para mostrar que f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x 3
Ache f - 1 ' ( d ) . f x = tan ⁡ 2 x ,- π 4 ≤ x ≤ π 4 ;d = 1