Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^1 (36)/((2 x + 1)^3) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^1 (36)/((2 x + 1)^3) d x u = 2 x + 1 d u = 2 d x => (d u)/(2) = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

36 int_0^1 (1)/(u^3) (d u)/(2) = (36)/(2) int_0^1 (1)/(u^3) d u = 18 int_0^1 u^(- 3) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

18 int_0^1 u^(- 3) d u = 18 (- (u^(- 2))/(2)) (1)/(0) = 18 (- (1)/(2 u^2)) (1)/(0)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

18 (- (1)/(2 u^2)) (1)/(0) = 18 [- (1)/(2 (2 x + 1)^2)] (1)/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

18 [- (1)/(2 (2 x + 1)^2)] (1)/(0) = 18 [- (1)/(2 (2 xx 1 + 1)^2) - ((- 1)/(2 (2 xx 0 + 1)^2))] =

= 18 [- (1)/(2 (3)^2) - ((- 1)/(2 (1)^2))] = 18 (- (1)/(18) + (1)/(2)) = 18 ((- 1 + 9)/(18)) = 18 ((8)/(18)) = 8

Resposta

8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida. ∫ x 2 x + 5 8 d x
Calcule a integral indefinida. int (sen 2 x)/(1 + cos^2 x) d x
Calcule a integral indefinida. ∫ 1 cos 2 ⁡ t1 + t gtd t
Calcule a integral definida. ∫ 1 2 e 1 / x x 2d x
Encontre a integral indefinida geral. int (2^t)/(2^t + 3) d t