Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 1 36 2 x + 1 3     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 1 36 2 x + 1 3     d x u = 2 x + 1 d u = 2 d x ⇒ d u 2 = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

36 ∫ 0 1 1 u 3 d u 2 = 36 2 ∫ 0 1 1 u 3   d u = 18 ∫ 0 1 u - 3 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

  18 ∫ 0 1 u - 3 d u = 18 - u - 2 2 1 0 = 18 - 1 2 u 2 1 0

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

18 - 1 2 u 2 1 0 = 18 - 1 2 2 x + 1 2 1 0

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      18 - 1 2 2 x + 1 2 1 0 = 18   - 1 2 2 × 1 + 1 2 - - 1 2 2 × 0 + 1 2 =

= 18   - 1 2 3 2 - - 1 2 1 2 = 18 - 1 18 + 1 2 = 18 - 1 + 9 18 = 18 8 18 = 8

Resposta

8

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