Calcule a integral abaixo:

∫ 1 2 x - 1 2 x - 1 2   - 4

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 2 x - 1 2 x - 1 2   - 4 u = 2 x - 1                   d u = 2 d x ⇒ d u 2 = d x  

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 1 u u 2 - 4 d u 2 = 1 2 ∫ 1 u u 2 - 4 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração pode não ser tão evidente a propriedade, vamos relembrar então que a derivada primitiva da s e c - 1 é dada por:

d s e c - 1 d x = 1 u u 2 - 1   d u d x

E de forma mais genérica, temos então que:

∫ 1 x x 2 - a 2 = 1 a arcsec ⁡ x a + C

Possuindo essa visão podemos aplicar outra substituição ao invés de usar a “fórmula” a cima. Logo:

v = a r s e c u 2 d v = 2 u u 2 - 4     d u

Passo 4

Aplicando a substituição de v:

1 2 ∫ 1 2 d v = v 4 + C

Passo 5

Substituindo v pela função que atribuímos, temos:

1 4 s e c - 1 u 2 + C

Passo 6

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 4 sec - 1 ⁡ 2 x - 1 2 + C

Resposta

1 4 sec - 1 ⁡ 2 x - 1 2 + C

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