Enunciado

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ e e 2 d x x ln ⁡ x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x x ln ⁡ x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = ln ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x x ln ⁡ x = ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x ln ⁡ x = ln ⁡ u + C = ln ⁡ ln ⁡ x + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ e e 2 d x x ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ x e e 2 = ln ⁡ ln ⁡ e 2 - ln ⁡ ln ⁡ e = 0,693 - 0 = 0,693

Resposta

∫ e e 2 d x x ln ⁡ x = 0,693

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