Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π t g 2   θ 3     d θ

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 π t g 2   θ 2     d θ u = θ 3 d u = 1 3 d θ   ⇒ 3 d u   = d θ

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 π t g 2   θ 2     d θ = ∫ 0 π t g 2 u   × 3 d u =   3 ∫ 0 π t g 2 u d u

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

t g 2 u + 1 = sec 2 ⁡ u

Vamos aplicar também a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que:

3 ∫ 0 π t g 2 u d u = 3 ∫ 0 π ( sec 2 ⁡ u - 1 )   d u = 3 ∫ 0 π sec 2 ⁡ u   d u - 3 ∫ 0 π d u    

Passo 4

Integrando e substituindo u pela função que atribuímos, temos:

3 ∫ 0 π sec 2 ⁡ u   d u - 3 ∫ 0 π d u   =   3 t g u π 0 -   3 u π 0   =

=   3 t g θ 3   π 0 -   3 θ 3 π 0  

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  3 t g θ 3   π 0 -   3 θ 3 π 0   =   3 t g π 3 - t g 0 - 3 π 3 - 0 =

= 3 3 - π

Resposta

3 3 - π

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