Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int s e n t sec^2 ( cos t ) d t

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Essa integral parece bem feia, mas com a substituição certa ela sai em duas linhas!!! Já que a derivada do cosseno é menos seno, vamos tentar a substituição u = cos t .

Passo 2

Fazendo u = cos t , temos que d u = - s e n t d t . Assim, como s e n t d t = - d u , a integral pode ser escrita como

int s e n t sec^2 (cos t) d t = - int sec^2 u d u

Lembrando que a derivada da tangente é a secante, temos que a primitiva de sec^2 u é t g u + C . Assim:

int s e n t sec^2 (cos t) d t = - t g u + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int s e n t sec^2 (cos t) d t = - t g (cos t) + C

Resposta

- t g (cos t) + C

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