Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π 2 5 s e n   x   3 2 cos ⁡ x   d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo u(k), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o resultado de u(k) irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Você poderia também após integrar, substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir e utilizar os limites de integração iniciais.

∫ 0 π 2 5 s e n   x   3 2 cos ⁡ x   d x

u = s e n   x   d u = cos ⁡ x   d x  

u 0 = s e n 0 = 0

u π 2 = s e n π 2 = 1

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 0 π 2 5 s e n   x   3 2 cos ⁡ x   d x =   ∫ 0 1 5   u 3 2   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ 0 1 5   u 3 2   d u = 5 ( u 5 2 5 2   ) 0 1 = 5 × 2 5 1 5 2 - 0 5 2 = 2

Resposta

2

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