Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((pi)/(2)) 5 (s e n x)^((3)/(2)) cos x d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo u(k), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o resultado de u(k) irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Você poderia também após integrar, substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir e utilizar os limites de integração iniciais.

int_0^((pi)/(2)) 5 (s e n x)^((3)/(2)) cos x d x

u = s e n x d u = cos x d x

u (0) = s e n (0) = 0

u ((pi)/(2)) = s e n ((pi)/(2)) = 1

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_0^((pi)/(2)) 5 (s e n x)^((3)/(2)) cos x d x = int_0^1 5 u^((3)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int_0^1 5 u^((3)/(2)) d u = 5 ( ((u^((5)/(2)))/((5)/(2))) )_0^1 = 5 xx (2)/(5) (1^((5)/(2)) - 0^((5)/(2))) = 2

Resposta

2

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