Calcule

∫ 2   t g   x 2 + 3 cos ⁡ x   d x

Passo 1

Bem, fazer a seguinte mudança de variavel:

u = cos ⁡ x

d u = - sin ⁡ x   d x → d x = - d u sin ⁡ x

Portanto temos:

∫ 2   t g   x 2 + 3 cos ⁡ x   d x =   ∫ 2   t g   x 2 + 3 u   ( - 1 sin ⁡ x ) d u

Como t g   x = sin ⁡ x cos ⁡ x

∫ 2   t g   x 2 + 3 u   - 1 sin ⁡ x d u =   - 2 ∫ 1 u ( 2 + 3 u )   d u

Usando frações parciais:

1 u 2 + 3 u = a u + b 2 + 3 u = a 2 + 3 u + b u u 2 + 3 u

2 a =   1 3 a + b = 0

a = 1 / 2 b =   - 3 / 2

Dessa forma:

1 u 2 + 3 u = 1 2 u - 3 2 2 + 3 u

Então a integral fica:

- 2 ∫ 1 u 2 + 3 u   d u = ∫ 3 2 + 3 u   d u - ∫ 1 u   d u  

∫ 3 2 + 3 u   d u - ∫ 1 u   d u   = ln ⁡ 2 + 3 u - ln ⁡ u + c

Como u   =   c o s   x :

∫ 2   t g   x 2 + 3 cos ⁡ x   d x = ln ⁡ 2 + 3 cos ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + c  

Resposta

∫ 2   t g   x 2 + 3 cos ⁡ x   d x = ln ⁡ 2 + 3 cos ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + c  

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