Enunciado

Calcule.

int (1)/(sen x + cos x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar que:

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

cos x = (1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Assim:

int (1)/(sen x + cos x) d x = int (1)/((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) + (1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))) d x

Vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tg (x)/(2)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) sec^2 (x)/(2) d x = (1)/(2) (1 + tg^2 (x)/(2)) d x

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) + (1 - tg^2 (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))) d x = int (1)/((2 u)/(1 + u^2) + (1 - u^2)/(1 + u^2)) * (2)/(1 + u^2) d u = int (1)/((2 u + 1 - u^2)/(1 + u^2)) * (2)/(1 + u^2) d u = int (2)/(2 u + 1 - u^2) d u = int (2)/(- (u - 1)^2 + 2) d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = u - 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = d u

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(- (u - 1)^2 + 2) d u = int (2)/(- t^2 + 2) d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Por último vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = sqrt(2) v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = sqrt(2) d v

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(- t^2 + 2) d t = int (2)/(sqrt(2) (- v^2 + 1)) d v = (2)/(sqrt(2)) int (1)/((- v^2 + 1))

Passo 3

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

(2)/(sqrt(2)) int (1)/(1 - v^2) d v = (2)/(sqrt(2)) int (1)/((1 - v) (1 + v)) d v

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/((1 - v) (1 + v)) = (A)/(1 - v) + (B)/(1 + v)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (1 - v) (1 + v) :

1 = A (1 + v) + B (1 - v)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (1 + v) + B (1 - v)

1 = A + A v + B - B v

1 = v (A - B) + (A + B)

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A - B = 0],[A + B = 1]]) -> {[[A = B = (1)/(2)],[B + B = 1 -> B = (1)/(2)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

(2)/(sqrt(2)) int (1)/((1 - v) (1 + v)) d v = (2)/(sqrt(2)) int ((1)/(2))/(1 - v) + ((1)/(2))/(1 + v) d v =

= (2)/(sqrt(2)) int (1)/(2 (1 - v)) + (1)/(2 (1 + v)) d v = (2)/(2 sqrt(2)) int (1)/(1 - v) d v + (2)/(2 sqrt(2)) int (1)/(1 + v) d v =

= (1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 + v) d v

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

w = 1 - v

Vamos agora achar diferencial de w , derivando:

d w = - d v

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 - v) d v = (1)/(sqrt(2)) int - (1)/(w) d w

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(sqrt(2)) int - (1)/(w) d w = - (1)/(sqrt(2)) int (1)/(w) d w = - (1)/(sqrt(2)) ln |w| + C

Passo 6

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

r = 1 + v

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = d v

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 + v) d v = (1)/(sqrt(2)) int (1)/(r) d r

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(sqrt(2)) int (1)/(r) d r = (1)/(sqrt(2)) int (1)/(r) d r = (1)/(sqrt(2)) ln |r| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

(1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 + v) d v = - (1)/(sqrt(2)) ln |w| + (1)/(sqrt(2)) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

(1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 - v) d v + (1)/(sqrt(2)) int (1)/(1 + v) d v = - (1)/(sqrt(2)) ln |w| + (1)/(sqrt(2)) ln |r| + C =

= - (1)/(sqrt(2)) ln |1 - v| + (1)/(sqrt(2)) ln |1 + v| + C = - (1)/(sqrt(2)) ln |1 - (t)/(sqrt(2))| + (1)/(sqrt(2)) ln |1 + (t)/(sqrt(2))| + C =

= - (1)/(sqrt(2)) ln |1 - (u - 1)/(sqrt(2))| + (1)/(sqrt(2)) ln |1 + (u - 1)/(sqrt(2))| + C =

= - (1)/(sqrt(2)) ln |1 - (tg (x)/(2) - 1)/(sqrt(2))| + (1)/(sqrt(2)) ln |1 + (tg (x)/(2) - 1)/(sqrt(2))| + C

Resposta

int (1)/(sen x + cos x) d x = - (1)/(sqrt(2)) ln |1 - (tg (x)/(2) - 1)/(sqrt(2))| + (1)/(sqrt(2)) ln |1 + (tg (x)/(2) - 1)/(sqrt(2))| + C

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