Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^((pi)/(3)) (s e n theta)/(cos^2 theta) d theta

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável. Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Aqui a substituição é bem óbvia pois a derivada do cosseno é menos seno: assim, x = cos theta , de modo que d x = - s e n theta d theta .

Passo 2

Temos que s e n theta d theta = - d x e também que para theta = 0 , x = 1 e para theta = pi // 3 , x = 1 // 2 . Assim, a integral fica

int_0^((pi)/(3)) (s e n theta)/(cos^2 theta) d theta = - int_1^((1)/(2)) (1)/(x^2) d x = - int_1^((1)/(2)) x^(- 2) d x

Calculando a integral:

int_0^((pi)/(3)) (s e n theta)/(cos^2 theta) d theta = - [(x^(- 1))/(- 1)]_1^((1)/(2)) = [(1)/(x)]_1^((1)/(2)) = (1)/(1 // 2) - (1)/(1) = 2 - 1 = 1

Resposta

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