Enunciado

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Calcule a integral definida por dois métodos:

a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ;

b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo

∫ 1 3 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x  

Passo 1

Letra a

A formula prismoidal vai ser para a integral de um polinômio de 3 ° grau.

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Na nossa questão vamos ter:

f x = 4 x 3 - 3 x 2 + 1

b = 3

a = 1

Assim, a integral vai ficar:

∫ 1 3 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x = 3 - 1 6 f 1 + 4 f 3 + 1 2 + f 3 =

2 6 f 1 + 4 f 2 + f 3

Vamos ter:

f 1 = 4 1 3 - 3 1 2 + 1 = 2

f 2 = 4 2 3 - 3 2 2 + 1 = 32 - 12 + 1 = 21

f 3 = 4 3 3 - 3 3 2 + 1 = 108 - 27 + 1 = 82

Logo:

2 6 2 + 4.21 + 82 = 1 3 2 + 82 + 82 = 166 3

Passo 2

Letra b

∫ 1 3 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x

Temso que começar achando a integral indefinida:

∫ 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x

Usandso as propriedades de integrais:

∫ 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x = ∫ 4 x 3 d x - ∫ 3 x 2 d x + ∫ d x

Essas antiderivadas são as de potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ,     s e   n ≠ 1

Primeiro, vamos escrever as duas frações como potências:

∫ 4 x 3 d x - ∫ 3 x 2 d x + ∫ d x = 4 x 4 4 - 3 x 3 3 + x + C = x 4 - x 3 + x + C

Passo 3

Usando o segundo teorema fundamental do calculo:

∫ 1 3 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x = x 4 - x 3 + x 1 3 = 3 4 - 3 3 + 3 - 1 4 - 1 3 + 1 =

81 - 27 + 3 - 1 = 56

Resposta

Letra a

166 3

Letra b

56

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