Enunciado

Aproxime ∫ 0 π s e n ( x ) d x com três casas decimais pela regra de Simpson, com n = 6. Compare o resultado com aquele obtido no exercício 4, e observe que a regra de Simpson leva a resultados mais precisos do que a regra do trapézio com o mesmo número de subintervalos.

Passo 1

Essa questão tem um número relativamente grande de passos, porém tem como sintetizar a maioria deles em uma tabela, e nós do Responde AÍ recomendamos que você faça assim na sua prova pois fica mais organizado e mais fácil de se obter o resultado. Então bora lá:

Primeira coisa a se fazer é conhecer a fórmula usada para responde essa questão que será essa:

∫ a b f x d x = b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f ( x n ) ]

Onde:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e i o r   d a   i n t e g r a l

n = n ú m e r o   d e   p a s s o s

f x = f u n ç ã o   a p l i c a d a   n o   p o n t o   x   e s s a   f u n ç ã o   é   a   f u n ç ã o   d a   i n t e g r a l .

Bastante atenção nos índices do f ( x ) .

Vamos entender agora exatamente como vai funcionar essa coisa feia aí.

Passo 2

Agora vamos encontrar o valor que multiplica tudo:

b - a 3 n = π - 0 3 * 6 = π 18

Passo 3

Vamos encontrar quantos f x   terão nossa solução. No problema dar as informações necessárias que são: n = 6 e os intervalos de integração.

Se encontra dessa forma:

b - a n = π - 0 6 = π   6

Ou seja, terão f ( x ) igualmentes espaçados em π 6 começando no limite inferior ( a ) do nosso problema que no caso é zero.

Passo 4

Nesse passo é o que eu falei de sintetizar os passos. Construímos uma tabela no modelo que o livro fornece pra solucionar, logo:

Onde os k i são os índices que acompanhar os f ( x ) na equação do passo 1. E os f ( x i ) é a própria função f ( x ) aplicada nos pontos x i . Nesse caso f x =   s e n ( x ) .

Passo 5

Agora basta apenas aplicar a forma direto:

∫ 0 π s e n x d x = π 18 [ 0 + 2,0 + 1,732 + 4,0 + 1,732 + 2 + 0 ]

∫ 0 π s e n x d x = π 18 [ 11,464 ]

∫ 0 π s e n x d x = 2,000

Quase no fim, calma.

Observa-se que a regra de Simpson dar um valor mais exato (que nesse caso chegou a ser exato) do que o feito no exercício 1 pela regra do trapézio (1,954).

Resposta

∫ 0 π s e n x d x = 2,000

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37- Use a integração numérica para estimar o valor de s e n - 1 0.6 = ∫ 0 0.6 d x 1 - x 2 Para referência, s e n - 1 0.6 = 0.64350 , com a precisão de cinco casas decimais.
38- Use a integração numérica para estimar o valor de π = 4 ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x
Calcule as integrais impróprias.
Calcule as integrais impróprias.
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