Calcule a integral definida, se ela existir.

∫ s e n x ⋅ s e n 2 x ⋅ s e n 3 x d x

Passo 1

Para conseguir resolver a integral de forma mais simples devemos lembrar da seguinte relação

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a ⋅ cos ⁡ b + s e n a ⋅ s e n b       ( i )

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a ⋅ cos ⁡ b - s e n a ⋅ s e n b   ( i i )

Subtraindo ambas as equações obtemos

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b 2 = s e n a ⋅ s e n b

Assim, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ s e n x ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ 2 x - 3 x - cos ⁡ 2 x + 3 x d x =

1 2 ⋅ ∫ s e n x ⋅ cos ⁡ x   d x - 1 2 ⋅ ∫ s e n x ⋅ cos ⁡ 5 x   d x =

1 2 ⋅ ∫ s e n 2 x 2 d x - 1 2 ⋅ ∫ s e n x ⋅ cos ⁡ 5 x   d x =

Para a segunda integral devemos lembrar da seguinte relação

s e n a + b = s e n a ⋅ cos ⁡ b + s e n b ⋅ cos ⁡ a

s e n a - b = s e n a ⋅ cos ⁡ b - s e n b ⋅ cos ⁡ a

Somando ambas equações encontramos

s e n a + b + s e n a - b 2 = s e n a ⋅ cos ⁡ b

Reescrevendo, agora, as equações vamos obter

1 2 ⋅ ∫ s e n 2 x 2 d x - 1 2 ⋅ ∫ 1 2 ⋅ [ s e n x + 5 x + s e n x - 5 x ]   d x

Passo 2

Com a integral escrita da forma como está escrita ficou bem simples de resolver nosso problema

1 2 ⋅ ∫ s e n 2 x 2 d x = - 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 x 2 + C = - cos ⁡ 2 x 8 + C

1 2 ⋅ ∫ 1 2 ⋅ s e n x + 5 x + s e n x - 5 x   d x = - 1 4 ⋅ cos ⁡ 6 x 6 + 1 4 ⋅ cos ⁡ 4 x 4 + C

Por fim, juntando tudo na expressão inicial vamos ter

1 2 ⋅ ∫ s e n 2 x 2 d x - 1 2 ⋅ ∫ 1 2 ⋅ s e n x + 5 x + s e n x - 5 x   d x =

- cos ⁡ 2 x 8 + cos ⁡ 6 x 24 - cos ⁡ 4 x 16 + C

E está finalizado nosso problema.

Resposta

- cos ⁡ 2 x 8 + cos ⁡ 6 x 24 - cos ⁡ 4 x 16 + C

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