Calcule

∫ x   a r c   s e n   x d x

Passo 1

Primeiro, começamos a resolver fazendo integração por partes, lembrando que a r c   s e n   x ' = 1 1 - x 2 :

∫ x   a r c   s e n   x d x = x 2 2 a r c   s e n   x - ∫ x 2 2 ∙ 1 1 - x 2 d x = x 2 2 a r c   s e n   x - 1 2 ∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 2

Agora vamos nos concentrar na integral que restou, tentando fazer a seguinte substituição:

x = cos ⁡ u

d x = - sen ⁡ u d u

Então:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ cos 2 ⁡ u 1 - cos 2 ⁡ u - sen ⁡ u d u = - ∫ cos 2 ⁡ u sen ⁡ u sen 2 ⁡ u d u = - ∫ cos 2 ⁡ u d u = - ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 u d u = - 1 2 u + 1 2 sen ⁡ 2 u + k = - 1 2 u + 1 2 ∙ 2 sen ⁡ u cos ⁡ u + k = - 1 2 u + sen ⁡ u cos ⁡ u + k

Passo 3

Com a substituição que fizemos, x = cos ⁡ u , devemos ter u = arccos ⁡ x , então vamos substituir de volta:

∫ x 2 1 - x 2 d x = - 1 2 u + sen ⁡ u cos ⁡ u + k = - 1 2 arccos ⁡ x + sen ⁡ arccos ⁡ x x + k = - 1 2 arccos ⁡ x + x 1 - x 2 + k

Portanto,

∫ x   a r c   s e n   x d x = x 2 2 a r c   s e n   x - 1 2 ∫ x 2 1 - x 2 d x = x 2 2 a r c   s e n   x - 1 2 - 1 2 arccos ⁡ x + x 1 - x 2 + k = x 2 2 arcsen ⁡ x + 1 4 arccos ⁡ x + x 4 1 - x 2 + k

Resposta

∫ x   a r c   s e n   x d x = x 2 2 arcsen ⁡ x + 1 4 arccos ⁡ x + x 4 1 - x 2 + k

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