Enunciado

Calcule a integral definida

int_2^(- 1) (2 x + 1)^2 d x

usando os resultados:

int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)

Passo 1

Queremos decompor a integral dada, colocando-a em termos de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas antes, temos um problema: a gente tem como informações as integrais de x e de x^2 , então precisamos resolver o quadrado (2 x + 1)^2 para conseguirmos x e x^2 separados, pra assim conseguir decompor a integral.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o quadrado:

(2 x + 1)^2 = (2 x)^2 + 2 * 2 x * 1 + (1)^2 = 4 x^2 + 4 x + 1

Aqui usamos o produto notável do quadrado de uma soma. Então ficamos com a integral assim:

int_2^(- 1) (2 x + 1)^2 d x = int_2^(- 1) (4 x^2 + 4 x + 1) d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral e transformá-la em uma combinação de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em três:

int_2^(- 1) (4 x^2 + 4 x + 1) d x = int_2^(- 1) 4 x^2 d x + int_2^(- 1) 4 x d x + int_2^(- 1) d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_2^(- 1) 4 x^2 d x + int_2^(- 1) 4 x d x + int_2^(- 1) d x = 4 int_2^(- 1) x^2 d x + 4 int_2^(- 1) x d x + int_2^(- 1) d x

Mas agora temos um outro problema: o enunciado dá pra gente as integrais de x e x^2 indo de -1 a 2, mas nós temos na nossa expressão int_2^(- 1) x d x e int_2^(- 1) x^2 d x , ou seja, com limites de integração indo de 2 a -1. É como se estivéssemos “integrando ao contrário”, mas calma. Uma outra propriedade diz que:

int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x

Ou seja, quando “integramos ao contário”, o resultado é multiplicado por -1. Então, o nosso resultado fica:

4 int_2^(- 1) x^2 d x + 4 int_2^(- 1) x d x + int_2^(- 1) d x = 4 ( - int_(- 1)^2 x^2 d x ) + 4 ( - int_(- 1)^2 x d x ) - int_(- 1)^2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

- 4 int_(- 1)^2 x^2 d x - 4 int_(- 1)^2 x d x - int_(- 1)^2 d x = - 4 * 3 - 4 * (3)/(2) - ( 2 - (- 1) )

= - 12 - (12)/(2) - 3 = - 12 - 6 - 3 = - 21 .

Resposta

int_2^(- 1) (2 x + 1)^2 d x = - 21

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