Calcule a integral definida

∫ 2 - 1 2 x + 1 2   d x

usando os resultados:

∫ - 1 2 x 2 d x = 3                     ∫ - 1 2 x   d x = 3 2

Passo 1

Queremos decompor a integral dada, colocando-a em termos de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

∫ a b f x + g x d x =   ∫ a b f x d x +   ∫ a b g x d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

∫ a b k   f x d x = k ∫ a b f x d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas antes, temos um problema: a gente tem como informações as integrais de x e de x 2 , então precisamos resolver o quadrado 2 x + 1 2 para conseguirmos x e x 2 separados, pra assim conseguir decompor a integral.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o quadrado:

2 x + 1 2 = 2 x 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Aqui usamos o produto notável do quadrado de uma soma. Então ficamos com a integral assim:

∫ 2 - 1 2 x + 1 2   d x = ∫ 2 - 1 4 x 2 + 4 x + 1 d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral e transformá-la em uma combinação de ∫ - 1 2 x 2 d x   e   ∫ - 1 2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em três:

∫ 2 - 1 4 x 2 + 4 x + 1 d x =   ∫ 2 - 1 4 x 2 d x + ∫ 2 - 1 4 x d x + ∫ 2 - 1 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 2 - 1 4 x 2 d x + ∫ 2 - 1 4 x d x + ∫ 2 - 1 d x =   4 ∫ 2 - 1 x 2 d x + 4 ∫ 2 - 1 x d x + ∫ 2 - 1 d x

Mas agora temos um outro problema: o enunciado dá pra gente as integrais de x e x 2 indo de -1 a 2, mas nós temos na nossa expressão ∫ 2 - 1 x d x e ∫ 2 - 1 x 2 d x , ou seja, com limites de integração indo de 2 a -1. É como se estivéssemos “integrando ao contrário”, mas calma. Uma outra propriedade diz que:

∫ a b f x d x =   - ∫ b a f x d x

Ou seja, quando “integramos ao contário”, o resultado é multiplicado por -1. Então, o nosso resultado fica:

4 ∫ 2 - 1 x 2 d x + 4 ∫ 2 - 1 x d x + ∫ 2 - 1 d x =   4 ( - ∫ - 1 2 x 2 d x ) + 4 ( - ∫ - 1 2 x d x ) - ∫ - 1 2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

- 4 ∫ - 1 2 x 2 d x - 4 ∫ - 1 2 x d x - ∫ - 1 2 d x = - 4 ⋅ 3 - 4 ⋅ 3 2 - ( 2 - - 1 )

= - 12 - 12 2 - 3 = - 12 - 6 - 3 = - 21 .

Resposta

∫ 2 - 1 2 x + 1 2   d x = - 21

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