Calcule a integral definida

∫ - 1 2 ( 5 x 2 + 1 3 x - 1 2 )   d x

usando os resultados:

∫ - 1 2 x 2 d x = 3                     ∫ - 1 2 x   d x = 3 2

Passo 1

Queremos decompor a integral dada, colocando-a em termos de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

∫ a b f x + g x d x =   ∫ a b f x d x +   ∫ a b g x d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

∫ a b k   f x d x = k ∫ a b f x d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral. Agora, já podemos resolver o exercício, separando a integral e a colocando em função de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x .

Passo 2

Primeiro, usando a primeira propriedade separamos a integral em três:

∫ - 1 2 5 x 2 + 1 3 x - 1 2 d x = ∫ - 1 2 5 x 2 d x + ∫ - 1 2 1 3 x d x - ∫ - 1 2 1 2 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ - 1 2 5 x 2 d x + ∫ - 1 2 1 3 x d x - ∫ - 1 2 1 2 d x =   5 ∫ - 1 2 x 2 d x + 1 3 ∫ - 1 2 x d x - 1 2 ∫ - 1 2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

5 ∫ - 1 2 x 2 d x + 1 3 ∫ - 1 2 x d x - 1 2 ∫ - 1 2 d x = 5 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 3 2 - 1 2 ⋅ ( 2 - - 1 )

= 15 - 1 2 - 1 2 ⋅ 3 = 15 - 1 2 - 3 2 = 15 - 2 2 = 14 .

Resposta

∫ - 1 2 5 x 2 + 1 3 x - 1 2 d x = 14

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