Enunciado

Calcule a integral definida

int_2^(- 1) 3 x ( x - 4 ) d x

usando os resultados:

int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)

Passo 1

Queremos decompor a integral, a colocando em termos de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma. Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas perceba que temos como informações as integrais de x e de x^2 no intervalo dado, então precisamos resolver o produto 3 x ( x - 4 ) para conseguirmos os fatores x e x^2 separados, pra assim separar as integrais.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o produto. Fazendo uma distributiva, ficamos com:

3 x (x - 4) = 3 x^2 - 12 x

Então ficamos com a integral assim:

int_2^(- 1) 3 x (x - 4) d x = int_2^(- 1) (3 x^2 - 12 x) d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral e transformá-la em uma combinação de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em duas:

int_2^(- 1) (3 x^2 - 12 x) d x = int_2^(- 1) 3 x^2 d x - int_2^(- 1) 12 x d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_2^(- 1) 3 x^2 d x - int_2^(- 1) 12 x d x = 3 int_2^(- 1) x^2 d x - 12 int_2^(- 1) x d x

Mas agora temos um outro problema: o enunciado nos dá as integrais de x e x^2 indo de -1 a 2, mas nós temos na nossa expressão int_2^(- 1) x d x e int_2^(- 1) x^2 d x , ou seja, com limites de integração indo de 2 a -1. É como se estivéssemos “integrando ao contrário”. Uma outra propriedade diz que:

int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x

Ou seja, quando “integramos ao contário”, o resultado é multiplicado por -1. Então, o nosso resultado fica:

3 int_2^(- 1) x^2 d x - 12 int_2^(- 1) x d x = 3 ( - int_(- 1)^2 x^2 d x ) - 12 ( - int_(- 1)^2 x d x )

= - 3 int_(- 1)^2 x^2 d x + 12 int_(- 1)^2 x d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

- 3 int_(- 1)^2 x^2 d x + 12 int_(- 1)^2 x d x = - 3 * 3 + 12 * (3)/(2) = - 9 + (36)/(2)

= - 9 + 13 = 4 .

Resposta

int_2^(- 1) 3 x (x - 4) d x = 4

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