Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 2 1 x 3 d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x 3 no intervalo [ - 2,1 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Primeiro analisaremos o gráfico da função f x = x 3 para acharmos seu mínimo e máximo absoluto no intervalo [ - 2,1 ] . Derivando a função, temos f ' x = 3 x 2 , que é sempre um número positivo, ou zero para x = 0 . Podemos perceber então que a função é crescente(e horizontal em x = 0 ), então seu mínimo será no início do intervalo e o máximo no final. O mínimo fica em x = - 2 , onde temos f - 2 = - 2 3 = - 8 , e o máximo fica em x = 1 , onde temos f 1 = 1 3 = 1 . Como já temos os valores m = - 8 e M = 1 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 2,1 ] , m = - 8 e M = 1 , sabemos então que:

m 1 - ( - 2 ) ≤   ∫ - 2 1 x 3   d x   ≤ M 1 - ( - 2 ) ⇒ - 8 ⋅ 1 + 2 ≤   ∫ - 2 1 x 3   d x ≤ 1 ⋅ ( 1 + 2 )

⇒ - 24 ≤ ∫ - 2 1 x 3   d x ≤ 3

Resposta

∫ - 2 1 x 3   d x ∈ [ - 24,3 ]

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