Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() y^2 e^(x y) d A , D = {(x , y)| 0 <= y <= 4 , 0 <= x <= y }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_0^4 int_0^y y^2 e^(x y) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^4 (int_0^y y^2 e^(x y) d x) d y = int_0^4 ([y e^(x y)]_0^y) d y = int_0^4 (y e^(y^2) - y e^0) d y = int_0^4 ( y e^(y^2) - y ) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^4 ( y e^(y^2) - y ) d y = [(e^(y^2))/(2) - (y^2)/(2)]_0^4 = (1)/(2) (e^(16) - 16 - e^0 + 0) = (e^(16) - 17)/(2)

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Resposta

(e^(16) - 17)/(2)

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