Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() e^(x // y) d A , D = { ( x , y ) | 1 <= y <= 2 , y <= x <= y^3 }

Passo 1

Nós temos que

1 <= y <= 2

E

y <= x <= y^3

Então, primeiro passo é reescrever a integral dupla:

int_1^2 int_y^(y^3) e^(x // y) d x d y

Passo 2

Quando a gente rem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro para fora, assim:

int_1^2 (int_y^(y^3) e^(x // y) d x) d y

Passo 3

Agora só resolver a integral simples que restou:

int_1^2 [y e^(x // y)]_y^(y^3) d y = int_1^2 (y e^(y^2) - e y) d y = [(1)/(2) e^(y^2) - (1)/(2) e y^2]_1^2 = (1)/(2) (e^4 4 e)

Resposta

(1)/(2) (e^4 4 e)

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Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T s e n 4 ( x + y )d A , onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .
Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 yd A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .
Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D yd A
Demonstre a propriedade 11.