Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int cos 3 x d x , u = 3 x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 d x -> d x = (1)/(3) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int cos 3 x d x = int cos u ((1)/(3) d u) = int (cos u)/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int (cos u)/(3) d u = (1)/(3) int cos u d u = (1)/(3) sen u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 x :

int cos 3 x d x = int (cos u)/(3) d u = (1)/(3) sen u + C = (1)/(3) sen 3 x + C

Resposta

int cos 3 x d x = (1)/(3) sen 3 x + C

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