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Calcule a integral indefinda

∫ x d x 3 - 2 x - x 2

Passo 1

∫ x d x 3 - 2 x - x 2

Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de a .Vamos ver como ficaria isso

3 - 2 x - x 2 = y → - 2 - 2 x d x = d y → - 2 x + 1 d x = d y

Mas nosso numerador é x e não x + 1 , amos reescrevê-lo da seguinte forma:

x = x + 1 - 1

Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:

∫ x d x 3 - 2 x - x 2 = ∫ x + 1 - 1 d x 3 - 2 x - x 2 =

= ∫ x + 1 d x 3 - 2 x - x 2 - ∫ 1 d x 3 - 2 x - x 2

A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.

Passo 2

Vamos começar com:

∫ x + 1 d x 3 - 2 x - x 2

Vamos fazer

3 - 2 x - x 2 = a → - x + 1 d x = d a → x + 1 d x = - d a

A integral vai ficar:

∫ - d a a = - ∫ d a a = - ∫ a - 1 2 d a = - a - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 2 a 1 2 + C

Voltando para x

- 2 3 - 2 x - x 2 1 2 + C

Passo 3

Agora

∫ 1 d x 3 - 2 x - x 2

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo x 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

3 - x 2 - 2 x

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

3 - x 2 - 2 x = 3 - x 2 - 2 x

Vamos olhar so p x 2 - 2 x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Comaprando, teremos

a = x

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b 2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

3 - x 2 - 2 x = 3 + 1 - x 2 - 2 x + 1 = 4 - x - 1 2

A nossa integral fica:

∫ d x 3 - 2 x - x 2 = ∫ d x 4 - x - 1 2

Passo 4

∫ d x 4 - x - 1 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

a 2 - 1

1 - a 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 4 em evidência dentro da raiz:

4 - x - 1 2 = 4 1 - x - 1 2 4

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

x - 1 2 4 = y 2 → y = x - 1 2

Além disso:

d y = d x 2 → d x = 2 d y

Substituindo na integral:

∫ d x 4 - x - 1 2 = ∫ d x 4 1 - x - 1 2 4 = ∫ 2 d y 2 1 - y 2 = ∫ d y 1 - y 2

Essa é integra é sen - 1 ⁡ y , então vamos ter:

∫ d y 1 - y 2 = sen - 1 ⁡ y + C

Voltando para x

sen - 1 ⁡ y + C = sen - 1 ⁡ x - 1 2 + C

Passo 5

Juntando tudo que achamos, vamos ter:

∫ x + 1 - 1 d x 3 - 2 x - x 2 = - 2 4 - 2 x - x 2 1 2 - sen - 1 ⁡ x - 1 2 + C

Podemos colocar a constante já do lado de fora dessa contarada toda, afinal vai acabar tudo se juntando em uma só.

Resposta

- 2 4 - 2 x - x 2 1 2 - sen - 1 ⁡ x - 1 2 + C

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Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x