Calcule a integral definida

∫ 0 1 d x e x + e - x

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

∫ d x e x + e - x

Vamos começar dando uma algebrizada naquela fração:

1 e x + e - x = 1 e x + 1 e x = 1 e 2 x + 1 e x = e x e 2 x + 1

A integral vai ficar:

∫ e x d x e 2 x + 1

Aquele e x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = e x → d a = e x d x

Vamos ter:

∫ e x d x e 2 x + 1 = ∫ d a a 2 + 1

Passo 2

Vamos para a integral em a

∫ d a a 2 + 1

Ela vai ser exatamente a integral da tg - 1 ⁡  

∫ d a a 2 + 1 = tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

tg - 1 ⁡ a + C = tg - 1 ⁡ e x + C

∫ d a e x + e - x = tg - 1 ⁡ e x + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

∫ 0 1 d x e x + e - x = tg - 1 ⁡ e x 0 1 = tg - 1 ⁡ e 1 - tg - 1 ⁡ e 0 = tg - 1 ⁡ e - tg - 1 ⁡ 1

Podemos achar o valor de tg - 1 ⁡ 1

x = tg - 1 ⁡ 1 ⟷ tg ⁡ x = 1

O ângulo que tem tangente igual a 1 é π 4 , então:

x = π 4

E nossa integral fica:

∫ 0 1 d x e x + e - x = tg - 1 ⁡ e - π 4

Resposta

tg - 1 ⁡ e - π 4

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