Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.6 - Ex. 23

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desse livro

Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 + 2 x - 1 x - 1 2 x 2 + 1 d x

Passo 1

Nesse aqui a gente tem um termo linear repetindo e um termo quadrático irredutível. Aí nesse caso a gente vai usar frações parciais dessa forma aqui:

x 2 + 2 x - 1 x - 1 2 x 2 + 1 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x + D x 2 + 1

Agora a gente tem que achar os valores de A ,   B ,   C   e   D .

Passo 2

Vamos desenvolver:

x 2 + 2 x - 1 x - 1 2 x 2 + 1 = A ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) x - 1 + B ( x 2 + 1 ) x - 1 2 + C x + D x - 1 2 x 2 + 1

Agora a gente pode eliminar os denominadores...

x 2 + 2 x - 1 = A x - 1 x 2 + 1 + B x 2 + 1 + C x + D x - 1 2

x 2 + 2 x - 1 = A x 3 + x - x 2 - 1 + B x 2 + B + C x 3 - 2 C x 2 + C x + D x 2 - 2 D x + D

x 2 + 2 x - 1 = x 3 A + C + x 2 - A + B - 2 C + D + x A + C - 2 D - A + B + D

E pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + C = 0 - A + B - 2 C + D = 1 A + C - 2 D = 2 - A + B + D = - 1

Aí resolvendo isso a gente encontra:

A = 1 ,   B = 1 ,   C = - 1   e   D = - 1

Passo 3

Beleza, agora a gente remonta nossa integral:

1 x - 1 + 1 x - 1 2 + - x - 1 x 2 + 1

∫ 1 x - 1 + 1 x - 1 2 + - x - 1 x 2 + 1 d x

Vamos separar isso em 4 integrais pra ficar mais fácil:

∫ 1 x - 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 d x - ∫ x x 2 + 1 d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x

Passo 4

Resolvemos cada uma agora:

  • ∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1
  • ∫ 1 x - 1 2 d x = - 1 x - 1
  • ∫ x x 2 + 1 d x → u = x 2 + 1 → d u = 2 x   d x = 1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )
  • ∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

Ótimo! Agora é só juntar tudo e somar a constante😉

I = ln ⁡ | x - 1 | - 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - a r c t g   x + C

Pronto😉

Resposta

I = ln ⁡ | x - 1 | - 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - a r c t g   x + C

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