Enunciado

Calcule a integral usando o método de frações parciais.

∫ 1 x 2 + 8 x - 7 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar frações parciais. Bora para a nossa integral:

∫ 1 x 2 + 8 x - 7 d x

A gente pode escrever assim:

= ∫ 1 ( x + 7 ) ( x + 1 ) d x

Passo 2

Belezinha, agora a gente precisa separar nossa função em duas:

1 ( x + 7 ) ( x + 1 ) = A x + 7 + B x + 1

Agora temos que encontrar quanto vale A e B , onde sabemos que?

A x + 1 + B x + 7 = 1

→ A x + A + B x + 7 B = 1

→ A + B x + A + 7 B = 1

Com isso podemos deduzir que:

A + B = 0

Pois não tem nada em função de x , e para o termo independente:

A + 7 B = 1

Resolvendo essas duas equações com um sistemina achamos A e B e ficamos com:

( - 1 / 6 ) x + 7 + ( 1 / 6 ) x + 1

Passo 3

Por fim, a gente tem duas integrais separadas e resolve elas:

∫ ( - 1 / 6 ) x + 7 d x + ∫ ( 1 / 6 ) x + 1 d x

= ∫ - 1 6 x + 7 d x + ∫ 1 6 ( x + 1 ) d x

= ∫ - 1 6 x + 42 d x + ∫ 1 6 x - 6 d x

= - 1 6 ln ⁡ x + 7 + C + 1 7 ln ⁡ x + 1 + C

Simplificando ficamos com:

= 1 6 ln ⁡ x + 1 x + 7 + C

Resposta

1 6 ln ⁡ x + 1 x + 7 + C

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