Calcule a integral indefinida:

∫ x e x x + 1 2 d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes. Nesse caso eu vou fazer a seguinte separação na integral:

∫ x e x x + 1 2 d x = ∫ x e x ⋅ 1 x + 1 2 d x

Agora fica mais nítida a multiplicação de funções e quais substituições podemos tentar usar. Vamos usar a fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função x e x . Entenda que integrar x e x é mais difícil do que integrar 1 x + 1 2 .

d v = 1 x + 1 2 d x v =   ? u = x e x d u =   ?

Aqui o método LIATE não faz muita diferença e, caso a escolha que você faça seja ruim, é só testar outra possibilidade. Vamos lá.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

v = ∫ 1 x + 1 2 d x = ∫ x + 1 - 2 d x = x + 1 - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 1 x + 1 + C

u ' = x e x ' = x ' e x + x e x ' = e x + x e x = e x ⋅ ( x + 1 ) (Regra do produto)

Sendo assim, temos:

d v = 1 x + 1 2 d x v = ∫ 1 x + 1 2 d x = - 1 x + 1 + C u = x e x d u = e x + x e x = e x ⋅ ( x + 1 ) d x

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ x e x ⏟ u 1 x + 1 2 d x ⏟ d v = x e x ⏟ u - 1 x + 1 ⏟ v - ∫ - 1 x + 1 ⏟ v e x ⋅ ( x + 1 ) d x ⏟ d u

∫ x e x x + 1 2 d x = - x e x x + 1 + ∫ e x ( x + 1 ) x + 1 d x

∫ x e x x + 1 2 d x = - x e x x + 1 + ∫ e x d x = - x e x x + 1 + e x + C

∫ x e x x + 1 2 d x = - x e x + e x ( x + 1 ) x + 1 + C

∫ x e x x + 1 2 d x = e x x + 1 + C

Não pode esquecer da constante, hein. A escolhe de v e d v nessa integral não era tão óbvia, mas a ideia é que se uma não funcionar, você pode testar outra sem problemas. É normal.

Resposta

∫ x e x x + 1 2 d x = e x x + 1 + C

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