Calcule a integral indefinida:

∫ sen - 1 ⁡ w d w

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

∫ sen - 1 ⁡ w ⋅ 1 d w = ∫ sen - 1 ⁡ w ⋅ x 0 d w

Agora temos um produto de um polinômio com uma inversa trigonométrica!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a inversa trigonométrica. Teremos então:

d v = 1 d w v =   ? u = sen - 1 ⁡ w d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = 1 d w v = ∫ 1 d w = w + C u = sen - 1 ⁡ w d u = d w 1 - w 2

Devemos lembrar que sen - 1 ⁡ w ' = 1 1 - w 2 .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ sen - 1 ⁡ w ⏟ u 1 d w ⏟ d v = sen - 1 ⁡ w ⏟ u w ⏟ v - ∫ w ⏟ v d w 1 - w 2 ⏟ d u

∫ sen - 1 ⁡ w d w = w sen - 1 ⁡ w - ∫ w 1 - w 2 d w

Passo 4

Vamos precisar resolver ∫ w 1 - w 2 d w . Para isso, faremos a substituição:

u = 1 - w 2 d u = - 2 w d w   →     d u - 2 = w d w

A integral na variável u será uma integral imediata:

∫ w 1 - w 2 d w = ∫ 1 u d u - 2 = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u = - 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 1 2 u 1 2 1 2 + C = - u + C

Voltando na variável w temos:

∫ w 1 - w 2 d w = - 1 - w 2 + C

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

∫ sen - 1 ⁡ w d w = w sen - 1 ⁡ w - ∫ w 1 - w 2 d w = w sen - 1 ⁡ w - - 1 - w 2 + C

∫ sen - 1 ⁡ w d w = w sen - 1 ⁡ w + 1 - w 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ sen - 1 ⁡ w d w = w sen - 1 ⁡ w + 1 - w 2 + C

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