Questão 30) Calcule a integral definida:

∫ 0 π 6 s e n 2 x . c o s 4 x   d x

Passo 1

Usando a identidade s e n A . c o s B = 1 / 2 [   s e n A - B + s e n A + B ] , aplicando essa identidade no integrando, temos

∫ 0 π 6 s e n 2 x . c o s 4 x   d x = 1 2 ∫ 0 π 6 s e n - 2 x + s e n 6 x d x

Como o   s e n ( x ) é uma função impar isso faz com que o s e n - 2 x = - sen(x)

∫ 0 π 6 s e n 2 x . c o s 4 x   d x = 1 2 ∫ 0 π 6 - s e n 2 x + s e n 6 x d x

= 1 2   ∫ - s e n 2 x d x +   ∫ s e n 6 x d x

= 1 2 cos ⁡ 2 x 2 - 1 2 ( cos ⁡ 6 x 6 )

Passo 2

Aplicando os intervalo de integração

∫ 0 π 6 s e n 2 x . c o s 4 x   d x =   1 2 cos ⁡ 2 x 2 - 1 2 ( cos ⁡ 6 x 6 ) 0 π 6

=   1 6

Resposta

∫ 0 π 6 s e n 2 x . c o s 4 x   d x = 1 6

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