Calcule a integral indefinida.

∫ 1 - u 2 d u

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o 1 - u 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = 1 - u 2

t 2 = 1 2 - u 2

t 2 + u 2 = 1 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin ⁡ θ = u 1

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar u = sin ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

u = sin ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

∫ 1 - sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica e substituir cos 2 ⁡ θ por 1 2 cos ⁡ 2 θ + 1 .

∫ 1 - sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

∫ cos 2 ⁡ θ d θ

∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ + 1 d θ

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ + 1 d θ

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através da relação trigonométrica sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ e as do triângulo montado anteriormente sin ⁡ θ = u 1 e cos ⁡ θ = 1 - u 2 1 .

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ + 1 d θ

1 4 sin ⁡ 2 θ + 1 2 θ + c

1 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 2 θ + c

1 2 u 1 - u 2 + 1 2 sin - 1 ⁡ u + c

Resposta

1 2 u 1 - u 2 + 1 2 sin - 1 ⁡ u + c

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