Enunciado

7.12. Calcule a integral

∫ d u u 5 - u 2  

Passo 1

Para começar a calcular, vamos fazer a igualdade

u = 5 sin ⁡ θ

Nós podemos usar essa igualdade por que vamos fazer uma substituição trigonométrica usando este triângulo

Então

d u = 5 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

A integral fica assim

∫ d u u 5 - u 2

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ 5 - 5 sin ⁡ θ 2

Vamos focar no termo

5 - 5 sin ⁡ θ 2

Isso vai ficar

5 - 5 sin 2 ⁡ θ

Vamos colocar o 5 em evidência

5 1 - sin 2 ⁡ θ

Bom, aqui a gente pode usar a identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 - + sin 2 ⁡ θ

Com isso temos que,

5 - 5 sin ⁡ θ 2 = 5 cos 2 ⁡ θ

Então, a integral fica assim

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ 5 cos 2 ⁡ θ

Podemos tirar o cosseno da raiz no denominador

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ ⋅ 5 cos ⁡ θ

Podemos cortar 5 cos ⁡ θ

∫ d θ 5 sin ⁡ θ

E aí nossa integral fica

1 5 ∫ c s c θ   d θ

Lembrando:

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ

Passo 3

Para fazer essa integral, temos que multiplicar por csc ⁡ θ - cot ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ

1 5 ∫ c s c θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ   d θ

E aí ficamos com

1 5   ∫ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ d θ

Agora é só a gente fazer

v = csc ⁡ θ - cot ⁡ θ

d v = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ d θ

Então

1 5 ∫ d v v = 1 5 ln ⁡ v = 1 5 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + C

Passo 4

Bom, usando o triângulo da imagem, podemos fazer a substituição de θ por u .

csc ⁡ θ = h i p o t e n u s a c a t .   o p o s t o = 5 u

cot ⁡ θ = c a t . a d j a c e n t e c a t .   o p o s t o = 5 - u 2 u

Agora vamos substituir na fórmula,

1 5 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + C

1 5 ln ⁡ 5 u - 5 - u 2 u + C

Então

∫ d u u 5 - u 2 = 1 5 ln ⁡ 5 - 5 - u 2 u + C

Resposta

∫ d u u 5 - u 2 = 1 5 ln ⁡ 5 - 5 - u 2 u + C

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