Encontre a derivada da função dada:

h(y) = y \* sen^(-1)(2y)

Passo 1

h y = y sen - 1 ⁡ 2 y

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

h ' y = y ' sen - 1 ⁡ 2 y + y sen - 1 ⁡ 2 y '

Temos que achar a derivada daquele sen - 1 ⁡ 2 y usando a regra da cadeia.

Fazendo

F y = sen - 1 ⁡ 2 y

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F y = g w y

Com

g y = sen - 1 ⁡ y

w y = 2 y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' y = g ' w y w ' y

Temos

g ' y = 1 1 - y 2

Então

F ' y = 1 1 - w y 2 w ' y

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w y

w y = 2 y → w ' y = 2

Vamos ter

F ' y = 1 1 - 2 y 2 2

F ' y = 2 1 - 4 y 2

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

h ' y = y ' sen - 1 ⁡ 2 y + y sen - 1 ⁡ 2 y '

h ' y = 1 sen - 1 ⁡ 2 y + y 2 1 - 4 y 2

h ' y = sen - 1 ⁡ 2 y + 2 y 1 - 4 y 2

Resposta

h ' y = sen - 1 ⁡ 2 y + 2 y 1 - 4 y 2

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