Calcule a integral indefinida.

∫ d x x x 2 + 4

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o x 2 + 4 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = x 2 + 4

t 2 = x 2 + 4

t 2 = x 2 + 2 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica tan ⁡ θ = x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 tan ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = 2 tan ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 tan ⁡ θ   2 tan ⁡ θ 2 + 4

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 tan ⁡ θ   4 tan 2 ⁡ θ + 1

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ∙ 1 cos 2 ⁡ θ  

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 tan ⁡ θ ∙ 2 sec ⁡ θ

1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ tan ⁡ θ

Passo 4

Aplicando a relação 1 tan ⁡ θ = cot ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ trigonométrica temos

1 2 ∫ cos ⁡ θ sec ⁡ θ d θ sin ⁡ θ

1 2 ∫ 1 d θ sin ⁡ θ

1 2 ∫ csc ⁡ θ

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot ⁡ θ = 2 x e csc ⁡ θ = x 2 + 4 x .

1 2 ∫ csc ⁡ θ

1 2 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + c

1 2 ln ⁡ x 2 + 4 x - 2 x + c

1 2 ln ⁡ x 2 + 4 - 2 x + c

1 2 ln ⁡ x 2 + 4 - - ln ⁡ x + c

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + 4 - - ln ⁡ x + c

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