Enunciado

Calcule a integral

∫ d x x 4 x 2 - 2

Coloque em um gráfico o integrando e a integral indefinida e verifique se sua resposta é razoável.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = 1 x 4 x 2 - 2 e esboçar essa função junto com o resultado da integral em um gráfico.

Para calcular a integral, vamos usar uma substituição trigonométrica, para tentar fugir dessa raiz no denominador. Assim, vamos fazer:

x = 2 sec ⁡ θ

Diferenciando, temos que:

d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Substituindo isso na nossa integral, vamos calcular. Então, vamos lá!

Passo 2

Substituindo na nossa integral, ficamos com:

∫ d x x 4 x 2 - 2 = ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 4 sec 4 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ - 2 d θ

Colocando 2 em evidência na raiz:

= ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 4 sec 4 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Agora a gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ . Então, temos:

∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 4 sec 4 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ d θ

Agora podemos eliminar a raiz, simplificando ela com o termo ao quadrado:

= ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 4 sec 4 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ d θ

E simplificando numerador e denominador, temos:

= 1 4 ∫ cos 3 ⁡ θ d θ

Agora como temos a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ , podemos escrever:

1 4 ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 1 4 ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Beleza, fugimos da raiz, agora vamos resolver essa integral pelo método da substituição. Assim, seja:

u = sin ⁡ θ

Temos que:

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral:

1 4 ∫ 1 - u 2 d u

E integrando, temos:

= 1 4 u - 1 3 u 3 + c

Onde c é uma constante de integração.

Agora vamos voltar pra nossa variável θ , usando u = sin ⁡ θ . Assim, teremos:

= 1 4 sin ⁡ θ - 1 3 sin 3 ⁡ θ + c

Passo 4

Mas lá no passo 1 , definimos x = 2 sec ⁡ θ . A partir disso, temos:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = x 2

Logo:

cos ⁡ θ = 2 x

Porém, precisamos encontrar uma expressão para sin ⁡ θ . Na resolução da integral, vimos que:

x 2 - 2 = 2 tan ⁡ θ

Então, temos:

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

= x 2 - 2 2

E

sin ⁡ θ = x 2 - 2 2 ⋅ 2 x

= x 2 - 2 x

Passo 5

Agora, só falta substituirmos tudo no resultado. Assim:

1 4 sin ⁡ θ - 1 3 sin 3 ⁡ θ + c

= 1 4 x 2 - 2 x - 1 3 x 2 - 2 x 3 + c

Passo 6

E o nosso gráfico de f x = 1 x 4 x 2 - 2 e F x = 1 4 x 2 - 2 x - 1 3 x 2 - 2 x 3 , será:

Pelo gráfico, podemos ver que a resposta obtida é razoável.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ d x x 4 x 2 - 2 = 1 4 x 2 - 2 x - 1 3 x 2 - 2 x 3 + c

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