Calcule a integral

∫ x 1 - x 4   d x

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ x 1 - x 4   d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😁

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Seja u = x 2 , temos que d u = 2 x d x , então, substituindo, ficamos com

∫ 1 - u 2   1 2 d u = 1 2 ∫ 1 - u 2   d u

Agora, seja u = s i n s i n   θ   , temos que d u = c o s c o s   θ   d θ , então substituindo

1 2 ∫ 1 - u 2   d u = 1 2 ∫ 1 - θ   c o s c o s   θ   d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: 1 = θ   + θ   ?! Vamos usá-la, então, substituindo

1 2 ∫ 1 - θ   c o s c o s   θ   d θ = 1 2 ∫ θ   c o s c o s   θ   d θ = 1 2 ∫ θ   d θ

Veja só! 😬

Passo 2

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica, que é: θ   = 1 2 1 + c o s c o s   2 θ   , então, podemos substituir isto na integral

1 2 ∫ θ   d θ = 1 2 ⋅ 1 2 ∫ 1 + c o s c o s   2 θ   d θ = 1 4 θ + 1 2 s i n s i n   2 θ   + c

1 2 ∫ θ   d θ = 1 4 θ + 1 4 s i n s i n   θ   c o s c o s   θ   + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para θ , s i n s i n   θ   e c o s c o s   θ   em função de u , lembra que dissemos que

u = s i n s i n   θ  

Temos que

θ = u  

Da resolução da integral, vimos que

1 - u 2 = c o s c o s   θ  

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para θ , s i n s i n   θ   e c o s c o s   θ   em função de u , podemos substituir

1 4 θ + 1 4 s i n s i n   θ   c o s c o s   θ   + c = 1 4 u   + 1 4 u 1 - u 2 + c

Calma que ainda não acabou, pra finalizar precisamos deixar tudo em função de x . Lá no inicio dissemos que

u = x 2

Agora é só substituir

1 4 u   + 1 4 u 1 - u 2 + c = 1 4 x 2   + 1 4 x 2 1 - x 4 + c

Portanto

∫ x 1 - x 4   d x = 1 4 x 2   + 1 4 x 2 1 - x 4 + c

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ x 1 - x 4   d x = 1 4 x 2   + 1 4 x 2 1 - x 4 + c

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